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CRISTALLOGRAPHIE

Page I Généralités

René Just Hauy

"La cristallographie démontre les propriétés générales de l'état cristallin."

Jean Baptiste Romé de l'Isle

L'abbé René Just Haüy, né le 28 février 1743 à Saint-Just-en-Chaussée dans l'Oise et mort le 3 juin 1822 à Paris, est un minéralogiste français, fondateur, avec Jean-Baptiste Romé de L'Isle, de la cristallographie géométrique. 

Jean-Baptiste Louis Romé de L'Isle est un physicien et minéralogiste français considéré comme l'un des créateurs de la cristallographie moderne. Il naît à Gray en Franche-Comté, le 26 août 1736 et meurt à Paris le 7 mars 1790.

ORIGINE DE LA CRISTALLOGRAPHIE

​A l’origine la cristallographie était une branche de la minéralogie purement descriptive car on ignorait qu’elle pouvait avoir d’autres domaines d’applications.

La cristallographie est la science de l’étude, à l’échelle atomique, des matières cristallines dont les caractères et propriétés physico-chimiques sont liés à la disposition spatiale des atomes, qui les composent.
L’unité de base du cristal est la « maille élémentaire » qui est transposées dans les trois dimensions.

Cristal est un mot d’origine grecque, « Krustallas », qui signifiait « solidifié par le froid ». A cette époque antique on imaginait que le cristal de roche, le quartz, était la transformation de la glace par le froid.

Goniomètre de Babinet.png
Diffractomètre X.jpg

Clin d'œil sur l'évolution des moyens . . . 

DEFINITION

Une matière cristalline est un matériau à l'état solide dont les composants chimiques, atomes et molécules sont disposés selon un schéma ordonné tridimensionnel.

En théorie les faces d'un cristal sont des surfaces planes. Dans la nature les minéraux se forment dans des conditions qui ne permettent pas toujours un développement parfait, ils sont souvent gênés dans leur croissance, ils sont xénomorphes. Lorsqu'un solide n'est pas cristallin on dit qu'il est amorphe (sans forme).

Dans un matériau amorphe les caractéristiques physiques et chimiques sont identiques dans toutes les directions. Dans un cristal elles varient selon les directions.

" Le cristal c'est la nature ordonnée. "

Quelques exemple de cristaux découlant du cube.

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Cube

Octaèdre

Tétraèdre

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Dodécaèdre

Dodécaèdre rhombique

PRINCIPES

Principe N°1

Dans une espèce minérale la valeur des angles dièdres est constante même si la forme varie.

Goniomètre est utilisé pour mesurer les angles des cristaux.

Le goniomètre est utilisé pour mesurer les angles des cristaux.

Constance des angles en cristallographie
La maille élémentaire en cristallographie
La multiplication des mailles élémentaires en cristallographie
Le tétraèdre issue du cube

Troncature

Troncature en cristallographie, milécule mnquante

Principe N°2

Les cristaux ont une structure "périodique" en réseau. Un rhomboèdre de 5 centimètres est formé de milliers de rhomboèdres identiques. Le plus petit volume formant un cristal est appelé maille élémentaire que l'on peut assimiler à un parallélépipède quelconque que l'on défini par la longueur de trois arêtes adjacentes ou axes cristallographiques. 

Principe N°3

Les diverses formes cristallines que peut prendre une espèce minérale découlent toutes du parallélépipède homothétique de la maille élémentaire par un phénomène de troncature où une surface va remplacer soit un sommet, soit une arête.

Du cube à l'octaèdre, un angle devient surface
Principe

NOTATION DE MILLER

La notation de Miller permet de nommer les faces d'un cristal, dans un système à trois dimensions.

Système à trois axes

Il y a différentes possibilités pour qu’un plan (qui représente une face d’un cristal) coupe les axes tridimensionnels.

Ce plan peut couper 1, 2 ou 3 axes, a, b et c, on note 1 quand l'axe est coupé, on note 0 quand le plan est parallèle a un axe exemple :

Principe de la notation de Miller en cristallographie

Sur le schéma 1 il coupe l’axe B tout en étant parallèle aux axes A et C, on le note 010.

Sur le schéma 2 il coupe les axes B et C tout en étant parallèle à l’axe A on le note 011.

Sur le schéma 3 il coupe les trois axes A, B et C formant un angle équilatéral on le note 111.

Les combinaisons de la notation de Miller

On peut ainsi voir toutes les combinaisons :

Le plan coupe A seul en étant parallèle à B et C on note 100.

Le plan coupe B seul en étant parallèle à A et C on note 010.

Le plan coupe C seul en étant parallèle à A et B on note 001.

Le plan coupe A et B en étant parallèle à C on note 110.

Le Plan coupe A et C en étant parallèle à B on note 101.

Le plan coupe C et B en étant parallèle à A on note 011.

Comme on la vu sur le troisième dessin si le plan coupe les trois axes A, B et C en formant un triangle on note 111.

Lorsque les plans sont coupés dans la partie négative d’un axe on note ī (lire moins un)

Miller

LES ÉLÉMENTS DE SYMÉTRIE

Principe de la symétrie des minéraux.jpg

Les principaux éléments de symétrie sont :

  • Le centre de symétrie

  • Les plans de symétrie

  • Les axes de symétrie

 

Centre de symétrie :

  • Point imaginaire où se croisent des lignes imaginaires joignant les sommets deux à deux. Ce centre est toujours noté C.

Centres de symétrie en cristallographie

Plan de symétrie :

  • un plan de symétrie divise le cristal en deux moitiés qui sont le miroir l'une de l'autre.

Plans de symétrie en cristallographie

Axe de symétrie :

  • Un axe de symétrie est un axe autour duquel on fait pivoter un cristal . Lors d'un rotation de 360°, si ce cristal se trouve dans une position qui semble identique à quatre reprise (à chaque quart de tour) l'axe de symétrie est dit d'ordre 4, s'il se retrouve dans une position identique 6 fois (rotations de 60°) on dira qu'il est d'ordre 6 :

    • ordre 2 rotations de 180°

    • ordre 3 rotations de 120°

    • ordre 4 rotations de   90°

    • ordre 6 rotations de   60°

Axes de symétrie en cristallographie

Dans le cube sur la figure du haut nous avons représenté 3 axes de symétrie d'ordre 4.

Il manque les 6 axes d'ordre 2 et les 4 axes d'ordre 3.

Dans le cristal hexagonal, figure du bas, nous avons représenté tous les axes de symétrie, 1 d'ordre 6 et 3 d'ordre 2.

Axe inverse :

  • Un axe inverse est un axe autour du quel, lors de la rotation, le cristal se trouve dans une position identique inversée.

Axe inverse en cristallographie
Symetrie

LES 14 RÉSEAUX DE BRAVAIS

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Un cristal est caractérisé par son groupe d'espace désignant l'ensemble des opérations de symétrie rendue invariante sa structure périodique. L'ensemble des combinaisons de tous les opérateurs de symétrie permet ainsi d'obtenir 230 groupes d'espace, compilés dans les tables internationales de cristallographie. Ces groupes décrits de façon purement mathématique, représentent les 230 façons de distribuer périodiquement des objets dans un espace triplement euclidien.

En cristallographie, un réseau de Bravais est une distribution régulière de points – appelés nœuds – dans l’espace qui représente la périodicité de la distribution atomique d’un cristal. Les nœuds peuvent être imaginés comme les sommets des mailles, c'est-à-dire des portions de l'espace dans lesquelles la structure cristalline peut être divisée. La structure est alors reconstruite par simple translation de la maille. La donnée d'un réseau de Bravais n'est pas suffisante pour caractériser un cristal : d'une part le cristal est constitué d'atomes et non de nœuds, et d'autre part la maille peut contenir plusieurs atomes, ce qui fait que certaines symétries du réseau ne sont pas forcément des symétries de la structure cristalline : c'est le cas des cristaux mérièdres. Lorsque la symétrie complète du réseau de Bravais est réalisée aussi dans la structure cristalline on parle de cristaux holoèdres.

Formellement, un réseau de Bravais en dimension n est défini comme l'ensemble des vecteurs {m1a1 + m2a2 + ... + mnan}, où m1, ..., mn appartiennent à Z et où les vecteurs de base du réseau a1, ..., an sont n vecteurs linéairement indépendants. Les paramètres du réseau sont constitués des longueurs a1, ..., an et des angles entre les vecteurs de base du réseau.

La périodicité engendre un groupe de symétrie constitué des opérations de translation et de rotation laissant le réseau de Bravais invariant. Si le nombre de réseaux est infini, puisqu'à chaque valeur des paramètres il correspond un réseau différent, le nombre de « types » de réseaux (appelés des « modes » de réseau) est fini, le type d'un réseau étant défini par son groupe de symétrie. On dénombre ainsi 5 types de réseau de Bravais dans l'espace bidimensionnel et 14 types dans l'espace tridimensionnel.

Lorsqu'il existe dans un cristal une invariance par rotation, on dit qu'il existe un axe de symétrie d'ordre 2, 3, 4 ou 6, selon que la rotation en question correspond respectivement à un angle de ± 180°, ± 120°, ± 90° ou ± 60°. L'étude des réseaux de Bravais à l'aide de la théorie des groupes a montré que dans les espaces bidimensionnel et tridimensionnel il n'existe pas de cristal ayant un axe de symétrie d'ordre 5. Ceci n'est plus vrai si la distribution atomique n'est pas périodique, comme c'est le cas dans un quasi-cristal : la distribution atomique observée peut alors être interprétée mathématiquement comme la projection sur l'espace tridimensionnel d'une coupe irrationnelle d'une structure périodique de dimension supérieure (4, 5 ou 6).

Un réseau étant infini, il est décrit par une maille, qui représente l’unité par répétition infinie de laquelle le réseau est obtenu. Le choix de la maille n’est pas unique, chaque réseau pouvant en principe être décrit par une infinité de mailles différentes ; ainsi, l'expression paramètres du réseau indique en réalité les paramètres de maille. Deux types de mailles sont utilisés le plus souvent : la maille primitive (ou élémentaire) et la maille conventionnelle : dans chaque famille cristalline il existe un réseau dont la maille conventionnelle est primitive. Les cristaux dont les mailles conventionnelles sont transformées l'une en l'autre en ajoutant ou supprimant des nœuds soit au centre des faces, soit à l'intérieur du volume de la maille, appartiennent à la même famille cristalline.

Les six composants, en bleu et rouge, des paramètres de maille.

 Valeurs des atomes selon leur place :

  • Au centre                     1

  • Sur une face                1/2

  • Sur une arête              1/4

  • Dans un coin               1/8

Bravais - Places des atomes et Paramètres de mailles.jpg

Les 14 réseaux sont de 4 types

  • P « Primitif » sphères dans les coins

  • I  « Centré » une sphère est au centre

  • C « Faces centrées » les sphères sont centrées sur 2 faces opposées

  • F « Bases centrées » les sphères sont centrées sur toutes les faces

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BRAVAIS
Glossaire

Glossaire de la page :

Homothétique

1 adjectif qualifiant un format proportionnel à un autre, en réduction ou agrandissement.
2 Se dit de formats dont les rapports latéraux sont égaux.

 

Xénomorphe

adj. du grec xenos : étranger et morphê : forme (anglais : xénomorphic), s'applique à un minéral qui, bien que cristallisé, présente une forme quelconque, les faces caractéristiques du système cristallin n'ayant pu se développer. Cela est dû généralement au fait que les les cristaux voisins, ou les éléments figurés voisins, déjà formés ont empêché ce développement.
Antonyme : automorphe
Synonyme allomorphe

Bibliographie

Bibliographie :

 

La gemmologie, notions, principes, concepts, F. Fayette

Encyclopédie des minéraux, O. Johnsen

Les minéraux, E. Asselborn, H. Chaumeton, PJ. Chiappero, J. Galvier

Dictionnaire de géologie, A. Foucault, J.F. Raoult

Vidéo

POUR APPROFONDIR, RÉSUMER ET CONCLURE...
VOICI UNE EXCELLENTE VIDÉO DE L’UNIVERSITÉ PARIS DIDEROT PARIS 7

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